8 / 17
Н.С. Васильев, В.И.
Громыко
8
Рис. 4.
Теорема Пифагора:
а
— частный случай;
б
— общий случай;
в
— доказательство Евклида
Платон и его последователи, разбирая в частности теорему Пифа-
гора, говорили: «Смотри» (рис. 4,
a
,
б
). Для понимания теоремы тре-
буется геометрическая интуиция, выявляющая свойства равносостав-
ленности и равнодополненности фигур. В геометрической теории,
обусловленной возможностями циркуля и линейки, Евклид опреде-
лил геометрические понятия «равные», «равновеликие», «подобные».
Дескрипция чертежами и доказательство на основе аксиоматики (аб-
страктный тип данных циркуля и линейки) обеспечивают дополни-
тельную интеллектуальную устойчивость следствий теоремы Пифагора
(рис. 4,
в
). Так как ∆
BB
3
A
= ∆
BB
1
C, значит,
S
BB
3
A
=
1 2
(
CB
)(
BB
3
) =
1 2
a
2
=
S
BB
1
C
=
1 2
(
KB
)(
BB
1
) =
1 2
S
KBB 1 L
. Тогда
a
2
=
S
KBB
1
L
и аналогич-
но
b
2
=
S
KAA
1
L
. То есть
c
2
=
a
2
+
b
2
. Найденный инвариант
S
BB
3
A
=
S
BB
1
C
=
=
1 2
a
2
=
1 2
S
KBB
1
L
допускает обобщение — теорему косинусов,
справедливую для произвольных треугольников.
Ф. Клейн в середине XX в. говорил, что интуиция и логика пере-
плетаются таким образом — и в этом является идеал, — что каждый
логический шаг тотчас же приводится к наглядной очевидности. Ев-
клидово обоснование расширяет платоновское представление. Со-
временный школьник пользуется свойством подобия и знает о выра-
жении длины отрезка числом. При этом теорема Пифагора «переписы-
вается» в отношениях:
2
2
( ) ( ) 1,
a c b c
а доказательство опирается
3