11 / 17
Пропедевтические курсы математики в условиях непрерывного образования
11
B.
Финитный метод Гильберта основан на продуктивности си-
стемы аксиом. Аксиома линейной полноты позволяет строить модель
геометрии. Имеющаяся конструкция расширяется, сохраняя постули-
руемые свойства.
Рассмотрим индуктивное построение минимальной аффинной
геометрии, в которой имеется четыре точки и шесть прямых (рис. 6).
Рис. 6.
Построение минимальной аффинной геометрии
Согласно аксиомам Гильберта, существуют три неколлинеарные
точки
A
,
B
,
C
. Каждые две из них инцидентны единственной прямой.
Отсюда «возникают» три прямые. По аксиоме параллельности
Евклида существуют прямые
l
1
и
l
2
, пересекающиеся в некоторой
точке
D
. Если бы эти прямые были параллельными, то это привело
бы к противоречию: через точку
C
проходят две прямые,
параллельные
l
2
. Наконец, точки
A
и
D
определяют шестую прямую
(см. рис. 6). Координатизация этой геометрии позволяет получить
уравнения
0
ax by c
, описывающие все прямые. Здесь
, ,
0, 1
a b c
, а операции понимают как
(mod 2), (mod 2)
.
Сформированное в сознании представление о главенствующей роли
конструктивной работы в аксиоматизации знания является рацио-
нальным предвидением, на базе которого можно развить представления
учащегося о рациональной объективизации геометрии. Пример 2
иллюстрирует возможность формирования современного взгляда на
вложение полей:
Анализ (Ньютона)
Нестандартный анализ (Лейбница)
Евклида
Вещественно алгебраически замкнутое Евклида (Артина)
Понтрягина
Алгебра
;
;
0(
)
F
F
R
R
Q
R
R
x y z x z y
R
Системный аксиоматический метод: о связности проективной и
индуктивной концептуальности (опознание смыслов).
Рассмотрим
еще один пример.
Пример 3. Рациональная объективизация на пути воплоще-
ния смысла.
Установим, является ли функция
,
,
f Df
вычис-
1
2