9 / 17
Пропедевтические курсы математики в условиях непрерывного образования
9
на соображения подобия. Для «продвинутого» школьника геометрия
Евклида является частным случаем евклидова линейного пространства.
Тогда теорема Пифагора
следствие преобразований. Пусть
.
c a b
Мы знаем, что
2
| |
,
,
c c c a b a b
2
2
| |
| |
2 , .
a b
a b
То-
гда
2
2
2
,
0 | |
| |
| | .
a b
c a b
Реальность «известной» теоремы
2 2 2
2 cos γ,
c a b ab
2 2 2
2
c a b
во многом определяется
тем, насколько дискурсивное рассуждение поддерживается знанием
смежных тем. А именно, геометрические понятия основаны на алгебра-
ических структурах
кольцо, поле, векторные пространства. При
этом задействованы представления об измеримости величин, транс-
цендентных функциях (на базе косинуса), аксиоматике геометрии.
В дальнейшем, при развитии теории, понятие ортогональности в
гильбертовом пространстве следует воспринимать как очевидное
обобщение рациональной объективизации. Так организовано лич-
ностное надпредметное образовательное пространство.
Самосознание в вузе: значение абстрактных типов данных
(единство слова и дела).
Евклид («Начала») и Д. Гильберт («Основания
геометрии») занимались вложениями (Гильберт действовал финитным
методом):
Евклида
Евклида
Алгебраическая система
Алгебра
;
;
;
исчисление отрезков
0(
)
{ }
F P
F
F
F
P
R
Q
R
x y z x z y
Этих ученых разделяют 2000 лет, но оба используют главенству-
ющую роль конструктивной работы в аксиоматизации знания, соот-
ветствующей работе с абстрактными типами данных эпохи системно-
информационной культуры.
Пример 2. О связности математики и информатики (через
конструктивную работу).
Рассмотрим построения, выполненные
Гильбертом в его исчислении.
A.
Евклидова аксиоматика «разгадывается» абстрактным типом
данных
исчислением отрезков Гильберта, определяемым возмож-
ностями циркуля и линейки (рис. 5):
1)
даны отрезки
a
,
b
. Строим отрезки (
a
+
b
) и (
a
−
b
). По двум
точкам допустимо построить окружность или прямую
таковы ми-
нимальные требования к циркулю и линейке (рис. 5,
а
);