9 / 12
Методические аспекты подходов к преподаванию теории пределов функций
Гуманитарный вестник
# 5·2016 9
Трактовка предела функции по Гейне.
Для того чтобы у
студентов не сложилось ложное представление о существовании
определения предела функции только в трактовке Коши, полезно
рассмотреть определение конечного предела функции по Гейне на
языке «последовательностей».
Определение 13.
Число
A
называется
пределом функции
( )
f x
в точке
x a
=
, если для любой такой последовательности
{ }
n
{
значе-
ний аргумента, что lim
n
n
x a
→∞
=
и
n
x a
≠
при любых
n
∈
, соответ-
ствующие последовательности
( )
{
}
n
f {
значений функции сходятся
к одному и тому же
A
(имеют один и тот же предел, равный
A
).
Или с помощью логических символов:
( )
(
)
lim
x a
f x A
→
= ⇔
{ }
(
)
( )
(
)
: lim ,
lim
n
n
n
n
n
n
{
{ a { a n
f { A
→∞
→∞
⇔ ∀
: ≠ ∀ ∈ ⇒
:
.
Теорема 6.
Определения конечного предела функции по Коши и
по Гейне эквивалентны.
Определение конечного предела функции по Гейне студенты
воспринимают хуже. Тем не менее рассмотрим задачу, на примере
которой проиллюстрируем применение определения 13.
Задача 9.
Доказать, что
lim sin
x
x
→+∞
не существует.
Воспользуемся определением предела функции по Гейне. Выбе-
рем
две
числовые
последовательности:
( )
{ }
{ }
1
n
{
n
= π
и
( )
{ }
(
)
2
4 1
2
n
n
{
π +
=
.
Тогда
( )
1
lim lim
n
n
n
x
n
→∞
→∞
= m = +∞
,
( )
(
)
2
4 1
lim lim
2
n
n
n
n
x
→∞
→∞
+ m
=
= +∞
, но
( )
(
)
1
lim
lim sin 0
n
n
n
f x
n
→∞
→∞
=
m =
, а
( )
(
)
(
)
2
4 1
lim
lim sin
1
2
n
n
n
n
f x
→∞
→∞
m +
=
=
.
Следовательно, функция
( )
sin
f x
x
=
не имеет предела при
x
→ +∞
(так как последовательности
( )
(
)
{
}
1
n
f {
и
( )
(
)
{
}
2
n
f {
имеют
разные пределы, что невозможно в силу единственности предела).
Заключение.
Методика, которая положена в основу данной ра-
боты, позволяет существенно ускорить процесс подготовки и прове-
дения семинарских занятий, посвященных изучению пределов функ-
ций, выполнения домашнего задания, подготовки к рубежному кон-
тролю и экзамену. Обобщен опыт изложения материала по указанной
теме [5
–
10], предложены таблицы, которые весьма облегчают вос-
приятие теории пределов и помогают при решении задач.