6 / 12
Ф.Х. Ахметова, А.В. Косова, И.Н. Пелевина
6
Гуманитарный вестник
# 5·2016
Теорема 4
(арифметические операции с функциями, имеющими
конечные пределы). Если существуют конечный
( )
lim
x a
f x A
→
=
и ко-
нечный
( )
lim
x a
g x B
→
=
, то существуют конечные:
•
( ) ( )
(
)
( )
( )
lim
lim lim
x a
x a
x a
f x g x
f x
g x A B
→
→
→
± =
±
= ±
;
•
( ) ( )
(
)
( )
( )
lim
lim lim
x a
x a
x a
f x g x
f x
g x A B
→
→ →
⋅
=
⋅
= ⋅
;
•
( )
( )
( )
( )
lim
lim
lim
x a
x a
x a
f x
f x
A
g x
g x B
→
→
→
=
=
при условии, что
( )
lim
0
x a
g x B
→
= ≠
.
Теорема 5
(о замене переменной в пределе или о пределе слож-
ной функции). Если функция
( )
y f x
=
имеет в точке
a
конечный
предел
b
и не принимает значение
b
в некоторой проколотой
окрестности
( )
U a
a
точки
a
, а функция
( )
g y
имеет в точке
b
конеч-
ный предел
c
, то сложная функция
( )
(
)
g f x
имеет предел в точке
a
,
и он равен
c
.
Студентам необходимо на примере разъяснить смысл этой тео-
ремы. Поскольку предел функции – это число, то, делая замену пере-
менной, нет необходимости возвращаться к прежней переменной.
Задача 4.
Вычислим
(
)
(
)
0
1
1
2
1
:
1 1
1
lim
1
lim
1
0
1
1
lim
1
...
1
k
k
k
x
y
k
k
y
замена
x
y
x y
x
y
x
y
y
y y y
y
→
→
−
−
→
+ −
−
: + :
:
:
−
→ ⇒ →
−
:
:
−
+ + + +
( )
1
0
причем y для x U
=
≠
∀ ∈
1
2
1
1
1
lim
...
1
k
k
y
k
y y
y
−
−
→
=
=
+ + + +
.
Если точка
x a
=
принадлежит области определения элементар-
ной функции
( )
f x
, то
( )
( )
lim
x a
f x f a
→
=
.
Задача 5.
6
lim sin 3 sin 3 1
6
x
x
m→
m
=
=
.
Основные способы вычисления пределов, содержащих не-
определенности.
Решение любой задачи на вычисление предела
функции подчиняется определенному алгоритму, а именно: