2 / 12
Ф.Х. Ахметова, А.В. Косова, И.Н. Пелевина
2
Гуманитарный вестник
# 5·2016
Таблица 1
Понятия окрестностей конечной и бесконечной точек
при различном стремлении аргумента
Тип стремления
Окрестность
x a
→
( ) (
) (
)
{
}
;
;
0
U a a a a a
{ a
a
= − a
+ a = < − < a
a
(
)
0
,
x a x a
x a x a
+
→ = → +
→ >
( ) (
) {
}
;
U a a a
a { a
+
a
= + a = < < + a
a
(
)
0
,
x a x a
x a x a
−
→ = → −
→ <
( ) (
) {
}
;
U a a a a
{ a
−
a
= − a = − a < <
a
x
→ ∞
( ) (
) (
)
{
}
;
;
U
M M { M
∞ = −∞ −
+∞ = ;
x
→ +∞
( ) (
) { }
;
U
M { M
+∞ = +∞ = ;
x
→ −∞
( ) (
) {
}
;
U
M { M
−∞ = −∞ − = < −
Используя результаты табл. 1, продемонстрируем, как будут вы-
глядеть определения пределов функции
( )
f x
по Коши при различ-
ных стремлениях аргумента
x
.
Определение 1.
Число
A
называется
пределом функции
( )
f x
в
точке
x a
=
, если для любого сколь угодно малого
0
ε >
найдется та-
кое
( )
0
δ = δ ε >
, что для всех
( )
x U a
a
∈
a
(или для всех
: 0
x
x a
< − < a
) выполняется неравенство
( )
f x A
− < ε
.
То же с помощью логических символов:
( )
(
)
lim
x a
f x A
→
= ⇔
(
0
⇔ ∀ε >
∃
( )
( )
)
( )
(
)
0 :
x U a
f x A
a
a : a ε > ∀ ∈ ⇒ − < ε
a
.
Определение 2.
Число
A
называется
правым пределом функции
( )
f x
в точке
x a
=
, если для любого сколь угодно малого
0
ε >
найдется такое
( )
0
δ = δ ε >
, что для всех
( )
x U a
+
a
∈
a
(или для всех
:
x a x a
< < + a
) выполняется неравенство
( )
f x A
− < ε
.
То же с помощью логических символов:
( )
(
)
0
lim
x a
f x A
→ +
= ⇔