3 / 12
Методические аспекты подходов к преподаванию теории пределов функций
Гуманитарный вестник
# 5·2016 3
(
( )
( )
)
( )
(
)
0
0 :
x U a
f x A
+
a
⇔ ∀ε > ∃ a : a ε > ∀ ∈ ⇒ − < ε
a
.
Определение 3.
Число
A
называется
левым пределом функции
( )
f x
в точке
x a
=
, если для любого сколь угодно малого
0
ε >
найдется такое
( )
0
δ = δ ε >
, что для всех
( )
x U a
−
a
∈
a
(или для всех
:
x a x a
− a < <
) выполняется неравенство
( )
f x A
− < ε
.
То же с помощью логических символов:
( )
(
)
0
lim
x a
f x A
→ −
= ⇔
(
0
⇔ ∀ε >
∃
( )
( )
)
0 :
x U a
−
a
a : a ε > ∀ ∈ ⇒
a
( )
(
)
f x A
− < ε
.
Определение 4.
Число
A
называется
пределом функции
( )
f x
в
бесконечно удаленной точке
(
x
→ ∞
), если для любого сколь угодно
малого
0
ε >
найдется такое
( )
0
M M
= ε >
, что для всех
( )
x U
∈ ∞
(или для всех
:
x x M
>
) выполняется неравенство
( )
f x A
− < ε
.
То же с помощью логических символов:
( )
(
)
lim
x
f x A
→∞
= ⇔
(
0
⇔ ∀ε >
∃
( )
( )
)
0 :
M M
x U
: ε > ∀ ∈ ∞
( )
(
)
f x A
⇒ − < ε
.
Определение 5.
Число
A
называется
правым пределом функции
( )
f x
в бесконечно удаленной точке
(
x
→ +∞
), если для любого
сколь угодно малого
0
ε >
найдется такое
( )
0
M M
= ε >
, что для
всех
( )
x U
∈ +∞
(или для всех
:
x x M
>
) выполняется неравенство
( )
f x A
− < ε
.
То же с помощью логических символов:
( )
(
)
lim
x
f x A
→+∞
= ⇔
(
0
⇔ ∀ε >
∃
( )
( )
)
0 :
M M
x U
: ε > ∀ ∈ +∞
( )
(
)
f x A
⇒ − < ε
.
Определение 6.
Число
A
называется
левым пределом функции
( )
f x
в бесконечно удаленной точке
(
x
→ −∞
), если для любого
сколь угодно малого
0
ε >
найдется такое
( )
0
M M
= ε >
, что для
всех
( )
x U
∈ −∞
(или для всех
:
x x M
< −
) выполняется неравенство
( )
f x A
− < ε
.
То же с помощью логических символов:
( )
(
)
lim
x
f x A
→−∞
= ⇔