7 / 12
Методические аспекты подходов к преподаванию теории пределов функций
Гуманитарный вестник
# 5·2016 7
1)
подставить в выражение предельное значение аргумента;
2)
определить, есть или нет неопределенность. Если нет, дать
ответ;
3)
если неопределенность есть, то по ее виду выбрать одно из
правил устранения этой неопределенности;
4)
преобразовать выражение согласно выбранному правилу и к
новой форме предела применить данный алгоритм, начиная с п. 1.
Многолетняя практика
преподавания этой темы показывает, что
основные методы вычисления пределов лучше структурировать в
табл. 2. Это существенно поможет восприятию неопределенностей,
способов их устранения и облегчит усвоение студентами приемов
вычисления пределов функций.
Таблица 2
Основные методы вычисления пределов
Тип неопределенности
Правило раскрытия
( )
lim
( )
x a
f x
g x
→
∞
=
∞
Необходимо в числителе и знаменателе «глав-
ное» слагаемое (растущее быстрее всех) вынести
за скобки; если слагаемое выбрано верно, то
предел скобки равен константе, не равной нулю
( )
0
lim
( )
0
x a
f x
g x
→
=
В числителе и знаменателе необходимо выде-
лить «критический» множитель вида (
x
–
a
), на
который затем дробь сократить; если неопреде-
ленность сохраняется, действия повторить
[
]
lim( ( ) ( ))
x a
f x g x
→
− = ∞ − ∞
Необходимо разность свести к дроби; при этом
тип неопределенности поменяется, либо неопре-
деленности не будет вовсе
Рассмотрим правила раскрытия неопределенностей, приведенных
в табл. 2, на примерах задач.
Задача 6.
Вычислить
4
3 2
3
2
1
2
4 2
lim
3 3 1
x
x x x x
x x x
→−
+ − − −
+ + +
.
При подстановке
1
x
= −
в числитель и знаменатель получаем
0
0
. Это значит, что в числителе и знаменателе есть общий множи-
тель
(
)
1
x
+
. Разложим на множители многочлены числителя и знаме-
нателя:
(
)
(
)
(
)
4
3 2
3
2
1
2 2
2
3
1
1
2
4 2 0
lim
0
3 3 1
1
2
2 1
lim
lim
.
1 0
1
x
x
x
x x x x
x x x
x
x
x
x
x
→−
→−
→−
+ − − − = =
+ + +
+
−
− −
=
=
= = ∞
+
+