4 / 12
Ф.Х. Ахметова, А.В. Косова, И.Н. Пелевина
4
Гуманитарный вестник
# 5·2016
(
0
⇔ ∀ε >
∃
( )
( )
)
0 :
M M
x U
: ε > ∀ ∈ −∞
( )
(
)
f x A
⇒ − < ε
.
А теперь рассмотрим определения предела функции по Коши
другого вида, а именно когда функция имеет различные стремления.
Определение 7.
( )
lim
x a
f x
→
= ∞
, если для сколь угодно большого
числа
0
K
>
найдется такое
( )
0
K
δ = δ >
, что для всех
( )
x U a
a
∈
a
вы-
полняется неравенство
( )
f x K
>
.
То же с помощью логических символов:
( )
(
)
lim
x a
f x
→
= ∞ ⇔
(
0
K
⇔ ∀ >
∃
( )
( )
)
( )
(
)
0 :
K x U a
f x K
a
a : a > ∀ ∈ ⇒ >
a
.
Определение 8.
( )
(
)
0
lim
x a
f x
→ +
= −∞ ⇔
(
0
K
⇔ ∀ >
∃
( )
0 :
K
δ : δ >
( )
)
x U a
+
a
∀ ∈ ⇒
a
( )
(
)
f x K
< −
.
Определение 9.
( )
(
)
0
lim
x a
f x
→ −
= +∞ ⇔
(
0
K
⇔ ∀ >
∃
( )
0 :
K
δ : δ >
( )
)
x U a
−
a
∀ ∈ ⇒
a
( )
(
)
f x K
>
.
Определение 10.
( )
(
)
lim
x
f x
→∞
= ∞ ⇔
(
0
K
⇔ ∀ >
∃
( )
( )
)
0 :
M M K x U
:
> ∀ ∈ ∞ ⇒
( )
(
)
f x K
>
.
Определение 11.
( )
(
)
lim
x
f x
→+∞
= −∞ ⇔
(
0
K
⇔ ∀ >
∃
( )
( )
)
0 :
M M K x U
:
> ∀ ∈ +∞ ⇒
( )
(
)
f x K
< −
.
Пределы 2, 3, 5, 6, 8, 9, 11 называются односторонними.
Рассмотрим ниже примеры задач, которые позволят более де-
тально разъяснить студентам содержание и смысл базовых определе-
ний 1–11.
Задача 1.
Доказать по определению:
(
)
1
lim 2 1 3
x
x
→
+ =
.
Возьмем произвольное
0
ε >
и найдем
( )
0
δ = δ ε >
:
2 1 3
x
+ − < ε
⇔
2 1
x
− < ε
⇔
( )
1
2
x
ε − < = δ ε
. Таким образом, для
0
∀ε >
∃
( )
0
2
ε
δ ε = >
такое, что для
:
1
x x
∀ − < δ
выполняется неравенство
2 1 3
x
+ − < ε
. Например, для
0,1
ε =
∃
0, 05
δ =
.