Естественные модели для итерированных модальностей в системе Льюиса S4

6 / 12

Н.Л. Архиереев
6 Гуманитарный вестник # 02·2017
Каждое из множеств о.с. в последнем W 2 соответствует элементу
дизъюнкции с тем же номером:
& & & & &
& & & & .
∨ ∨ ∨ ∨ ∨
∨ ∨ ∨ ∨
NCp NCq Np NCq Ip NCq NCp Nq NCp Iq
Np Nq Np Iq Ip Nq Ip Iq
Формулам с итерированными модальностями второй степени
следующим образом приписываются значения в 2 2 ; ; ″ α′i ОГ W :
1 1 2 1
2
)) t W W W W B t
W α � ◊Β = ⇔ ∀ ( ∈ ⇒ ∃α(α ∈ ∧ =′′ ′′ ′′ ′′
′′  ;
1 1 2 1
2
)) t W W W W B t
W α ◊� Β = ⇔ ∃ ( ∈ ∧∀α(α ∈ ⇒ =′′ ′′ ′′ ′′
′′  ;
1 1 2 1
2
)) t W W W W B f
W α � ◊¬Β = ⇔ ∀ ( ∈ ∃α(α ∈ ∧ =′′ ′′ ′′ ′′
′′  ;
1 1 2 1
2
)) t W W W W B f
W α ◊ �¬Β = ⇔ ∃ ( ″ ∈ ∧∀α(α ∈ ″ ⇒ =′′ ′′
′′  .
Приведенных определений достаточно, чтобы показать необ-
щезначимость ◊ ⊃ �◊ A A и общезначимость Α ⊃ �Α �
  в полученной
семантике.
Пусть формула содержит единственную переменную р ; рассмот-
рим следующий 1 1 ; ;i ОГ Wα ″ ′ для нее:
{ };{ };{{ },{ }}¬ Cp p p p ,
относительно которого возможны два множества второй степени:
{ };{ };{{{ },{ }}}¬ NCp p p p ;
{ };{ };{{{ },{ }};{{ }};{{ }}}¬ ¬ CCp p p p p p .
В исходном 1″ W формула ◊p истинна, потому что
( )
α ∃α α ∈ ∧ =W p t .
В 2 W ″ с метаистолкованием NCр формула � ◊ p также является
истинной, поскольку в данном случае
1 1 2 1 )) W W W W p tα ∀ ″( ″ ∈ ″ ⇒ ∃α(α ∈ ″ ∧ = .
Однако в 2 W ″ с метаистолкованием CCр содержится множество
о.с. {{ }}¬p , в единственном элементе которого р ложно. Поэтому
формула ◊ � p ложна в данном W 2 и естественным образом истинно
ее отрицание ◊� ¬ p , поскольку выполняется условие
1 1 2 1 ))
α ∃ ″( ″ ∈ ″ ∧∀α(α ∈ ″ ⇒ =W W W W p f .
Следовательно, ◊ ⊃ �◊ A A необщезначима в данной семантике.