Н.Л. Архиереев
6
Гуманитарный вестник
# 02·2017
Каждое из множеств о.с. в последнем
W
2
соответствует элементу
дизъюнкции с тем же номером:
&
&
&
&
&
& & & & .
∨
∨
∨
∨
∨
∨
∨
∨
∨
NCp NCq Np NCq Ip NCq NCp Nq NCp Iq
Np Nq Np Iq Ip Nq Ip Iq
Формулам с итерированными модальностями второй степени
следующим образом приписываются значения в
2
2
; ;
″
α′
i
ОГ W
:
1 1
2
1
2
))
t
W W W
W B t
W
α
� ◊Β = ⇔ ∀ ( ∈ ⇒ ∃α(α ∈ ∧ =
′′ ′′
′′
′′
′′
;
1 1
2
1
2
))
t
W W W
W B t
W
α
◊� Β = ⇔ ∃ ( ∈ ∧∀α(α ∈ ⇒ =
′′ ′′
′′
′′
′′
;
1 1
2
1
2
))
t
W W W W B f
W
α
� ◊¬Β = ⇔ ∀ ( ∈ ∃α(α ∈ ∧ =
′′ ′′
′′
′′
′′
;
1 1
2
1
2
))
t
W W W
W B f
W
α
◊ �¬Β = ⇔ ∃ ( ″ ∈ ∧∀α(α ∈ ″ ⇒ =
′′
′′
′′
.
Приведенных определений достаточно, чтобы показать необ-
щезначимость
◊ ⊃ �◊
A A
и общезначимость
Α ⊃ �Α
�
в полученной
семантике.
Пусть формула содержит единственную переменную
р
; рассмот-
рим следующий
1
1
; ;
i
ОГ W
α ″
′
для нее:
{ };{ };{{ },{ }}
¬
Cp p p p
,
относительно которого возможны два множества второй степени:
{ };{ };{{{ },{ }}}
¬
NCp p p p
;
{ };{ };{{{ },{ }};{{ }};{{ }}}
¬
¬
CCp p p p p
p
.
В исходном
1
″
W
формула
◊
p
истинна, потому что
(
)
α
∃α α ∈ ∧ =
W p t
.
В
2
W
″
с метаистолкованием
NCр
формула
� ◊
p
также является
истинной, поскольку в данном случае
1 1
2
1
))
W W W
W p t
α
∀ ″( ″ ∈ ″ ⇒ ∃α(α ∈ ″ ∧ =
.
Однако в
2
W
″
с метаистолкованием
CCр
содержится множество
о.с.
{{ }}
¬
p
, в единственном элементе которого
р
ложно. Поэтому
формула
◊
�
p
ложна в данном
W
2
и естественным образом истинно
ее отрицание
◊� ¬
p
, поскольку выполняется условие
1 1
2
1
))
α
∃ ″( ″ ∈ ″ ∧∀α(α ∈ ″ ⇒ =
W W W
W p f
.
Следовательно,
◊ ⊃ �◊
A A
необщезначима в данной семантике.