Естественные модели для итерированных модальностей в системе Льюиса S4
Гуманитарный вестник
# 02·2017 3
1
n
C
обозначает число интерпретаций, истолковывающих в качестве
случайной какую-либо одну переменную. Каждая такая интерпрета-
ция будет выполняться каким-либо двухэлементным множеством о.с.
Наконец, последнее слагаемое обозначает число интерпретаций, в
которых все переменные истолковываются как случайные. Такой ин-
терпретации будет соответствовать 2
n
-элементное множество о.с. для
формулы.
Пусть далее
k
— число переменных, которые в некоторой интер-
претации имеют метаистолкование
С
. Если
2
≤ ≤
k n
, то по каждой
такой интерпретации, как и в семантике для S5, строится набор до-
полнительных ограничений на образование конъюнкций логически
недетерминированных высказываний. В результате этих ограничений
из исходного множества о.с. для формулы могут исключаться неко-
торые элементы.
Таким образом, в качестве наиболее простых аналогов S4-
модельных структур будем использовать трехэлементные множества
1
1
; ;
α′
′′
i
ОГ W
,
где
1
ОГ
′
— одна из интерпретаций, выполняющая роль отношения
достижимости семантик возможных миров;
α
i
— исходное о.с. (ана-
лог выделенного или действительного мира), относительно которого
рассматривают все мыслимые ограничения возможных логических
форм элементарных высказываний;
1
′′
W
— (относительно) ограни-
ченное множество о.с. (возможных миров), выполняющее условия
′′
ОГ
.
Такое трехэлементное множество будем называть относительно
ограниченным множеством описаний состояний (ОГОС), или класте-
ром первой степени [3].
Пример
.
U
:
1
2
3
4
{ { , },
{ ,
},
{ , },
{ ,
}}
α =
α = ¬ α = ¬ α = ¬ ¬
p q
p q
p q
p q
.
Относительно
1
α
возможны 4 кластера
1
1
; ;
α′
′′
i
ОГ W
:
1)
{ ,
};{ , };{{ , }}
Np Nq p q p q
;
2)
{ , };{ , };{{ , }{ ,
}}
¬
Np Cq p q p q p q
;
3)
{ ,
};{ , };{{ , }{ , }}
¬
Cp Nq p q p q p q
;
4)
{ , };{ , };{{ , }{ ,
}{ , }{ ,
}}
¬ ¬ ¬ ¬
Cp Cq p q p q p q p q p q
.
(Относительно последнего множества возможны еще 7 дополни-
тельно ограниченных кластеров [1].)
В кластерах первой степени приписываются значения формулам
с модальностями □,
◊
. По сути, условия истинности/ложности мо-
дальных формул первой степени остаются теми же, что и в S5: