Естественные модели для итерированных модальностей в системе Льюиса S4

3 / 12

Естественные модели для итерированных модальностей в системе Льюиса S4
Гуманитарный вестник # 02·2017 3
1
n C обозначает число интерпретаций, истолковывающих в качестве
случайной какую-либо одну переменную. Каждая такая интерпрета-
ция будет выполняться каким-либо двухэлементным множеством о.с.
Наконец, последнее слагаемое обозначает число интерпретаций, в
которых все переменные истолковываются как случайные. Такой ин-
терпретации будет соответствовать 2n -элементное множество о.с. для
формулы.
Пусть далее k — число переменных, которые в некоторой интер-
претации имеют метаистолкование С . Если 2 ≤ ≤k n , то по каждой
такой интерпретации, как и в семантике для S5, строится набор до-
полнительных ограничений на образование конъюнкций логически
недетерминированных высказываний. В результате этих ограничений
из исходного множества о.с. для формулы могут исключаться неко-
торые элементы.
Таким образом, в качестве наиболее простых аналогов S4-
модельных структур будем использовать трехэлементные множества
1 1 ; ;α′ ′′
i ОГ W ,
где 1 ОГ ′ — одна из интерпретаций, выполняющая роль отношения
достижимости семантик возможных миров; αi — исходное о.с. (ана-
лог выделенного или действительного мира), относительно которого
рассматривают все мыслимые ограничения возможных логических
форм элементарных высказываний; 1′′ W — (относительно) ограни-
ченное множество о.с. (возможных миров), выполняющее условия
′′ ОГ .
Такое трехэлементное множество будем называть относительно
ограниченным множеством описаний состояний (ОГОС), или класте-
ром первой степени [3].
Пример. U: 1 2 3 4 { { , }, { , }, { , }, { , }} α = α = ¬ α = ¬ α = ¬ ¬ p q p q p q p q .
Относительно 1 α возможны 4 кластера 1 1 ; ;α′ ′′
i ОГ W :
1) { , };{ , };{{ , }} Np Nq p q p q ;
2) { , };{ , };{{ , }{ , }} ¬ Np Cq p q p q p q ;
3) { , };{ , };{{ , }{ , }}¬ Cp Nq p q p q p q ;
4) { , };{ , };{{ , }{ , }{ , }{ , }} ¬ ¬ ¬ ¬ Cp Cq p q p q p q p q p q .
(Относительно последнего множества возможны еще 7 дополни-
тельно ограниченных кластеров [1].)
В кластерах первой степени приписываются значения формулам
с модальностями □, ◊. По сути, условия истинности/ложности мо-
дальных формул первой степени остаются теми же, что и в S5: