2 / 12
Н.Л. Архиереев
2
Гуманитарный вестник
# 02·2017
•
дополнительные аксиомы и правила вывода:
А1. □(
А
⊃
В
)
⊃
(
А
⊃
В
),
А2. □
А
⊃
А
,
А3. □А
⊃
□□А,
RG.
�
�
A
A
�
�
Как и в семантике для S5, различают три типа оценок:
1) оценки формул классической логики высказываний (к.л.в.) в
отдельных описаниях состояний (о.с.);
2) оценки формул, находящихся в области действия модальных
операторов; при этом собственные модальности 1-й, 2-й и 3-й степе-
ни — □,
◊
, □
◊
,
◊
□, □
◊
□,
◊
□
◊
— рассматриваются соответственно как
кванторы по отдельным о.с., по множествам о.с. и множествам
множеств о.с.
;
3) метаистолкования элементарных формул к.л.в. в терминах
{
N
,
C
,
I
}; наличие существенных итерированных модальностей в S4
предполагает возможность вторичных метаистолкований формул
к.л.в. в терминах {
N
,
C
,
I
}. Метаоценки
N
,
I
могут повторно истолко-
вываться только как
NN
,
NI
(что фиксируется аксиомой □А
⊃
□□А),
метаоценка
С
может истолковываться как
NC
либо
СC
(что проявля-
ется в необщезначимости формулы
◊
А
⊃
□
◊
А в S4).
В экстенсиональной семантике для S5 все о.с., входящие в один
кластер, были связаны отношением достижимости — эквивалентно-
сти. В S4, как известно, отношение достижимости между мирами ре-
флексивно и транзитивно, но уже не симметрично, поэтому суще-
ственным становится понятие выделенного/действительного мира,
вернее, его аналог. По
каждому
о.с.
α
i
из исходного множества о.с.
для формулы строится множество всех возможных ограничений на
допустимые истинностные значения переменных, входящих в неко-
торую формулу. Поскольку каждое о.с. содержит
n
переменных, а
каждая переменная может истолковываться как имеющая свое значе-
ние случайным образом или по необходимости, допустимыми по
каждому
α
i
оказываются 2
n
таких истолкований. Однако в данном
случае удобнее рассматривать число 2
n
истолкований по отдельному
о.с. в виде элементарной арифметической функции — строки тре-
угольника Паскаля с основанием
n
:
0 1 2
2
...
= + + + +
n
n
n n n
n
C C C C
.
Слагаемое
0
n
C
обозначает число интерпретаций по отдельному
α
i
, в которых все переменные истолковываются как строго детерми-
нированные.
Ясно, что по каждому о.с. такая интерпретация будет единствен-
ной, а выполнять ее будет одноэлементное множество о.с. Слагаемое