Естественные модели для итерированных модальностей в системе Льюиса S4

Гуманитарный вестник

# 02·2017 1

УДК 163 DOI 10.18698/2306-8477-2017-02-413

Естественные модели для итерированных модальностей

в системе Льюиса S4

МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия

Основное средство содержательного истолкования модальных исчислений в совре-

менной логике — так называемые семантики возможных миров (реляционные и

окрестностные). Исходными в данных семантиках являются понятия возможного

мира, модельной структуры, отношения достижимости между мирами. Хотя се-

мантики возможных миров кажутся более естественными, чем алгебраические и

топологические семантики модальных исчислений, лежащие в их основе понятия не

имеют удовлетворительной содержательной интерпретации. Особенно трудной

оказывается проблема содержательной интерпретации итерированных модальных

операторов. В статье изложен принципиально новый подход к построению семанти-

ки модальных логик, при котором используются только традиционные для них поня-

тия логической истинности, выполнимости и т. д. На основе этого подхода предло-

жено естественное истолкование итерированных модальностей системы S4.

Ключевые слова:

модальность, возможный мир, модельная структура, отноше-

ние достижимости, относительно ограниченное множество описаний состояний,

истинность, ложность, выполнимость, общезначимость

В работах [1–3] были изложены основные принципы построения

теории логических модальностей (семантики исчисления S5 Льюиса), в

которой используются только содержательно оправданные понятия ло-

гической истинности/ложности высказываний, совместимости/несов-

местимости высказываний по истинности/ложности и др. В данной

статье указанные принципы распространяются на модальную систе-

му Льюиса S4, дается естественная интерпретация итерированных

модальностей этой системы, строится ряд арифметических функций,

обеспечивающих исчерпывающий пересчет так называемых относи-

тельно ограниченных множеств описаний состояний (конечных упо-

рядоченных множеств описаний состояний, выполняющих роль мо-

дельных структур семантик возможных миров).

Семантика относительно ограниченных множеств описаний

состояний для системы Льюиса S4.

Будем иметь в виду следую-

щую формулировку S4:

•

исходные символы:

, ,

¬ ⊃ �

□ (отрицание, импликация, оператор

необходимости соответственно), например

◊Α ≡ ¬�¬Α

;

•

аксиомы и правила вывода классического исчисления высказы-

ваний;