7 / 10
Теория логических модальностей без «возможных миров»
Гуманитарный вестник
# 7·2016 7
довательно,
◊ =
W
Α t
и
� ¬ =
W
Α t
,
⇔ =
= ∨ =
W
W
W
Α N A I A
,
W
C A I
=
=
— противоречие.
Итак,
◊ ⊃� ◊
A A
общезначима в данной семантике.
Приведем еще один пример, наглядно иллюстрирующий суть
данного подхода.
Рассмотрим формулу
(
)
p p q
◊¬ ⊃ � ⊃ ◊
, исходное множество о.с.
для нее
U
:
1
2
3
4
{ { , },
{ ,
},
{ , },
{ ,
}}
p q
p q
p q
p q
α =
α = ¬ α = ¬ α = ¬ ¬
и все
конструкции
;
′
ОГ W
,
;
′
′′
ОГ W
, получаемые в результате метаи-
столкований переменных формулы в терминах {
N
,
C
,
I
}:
1)
{ ,
};{{ , }} ;
Np Nq p q
2)
{ ,
};{{ , }} ;
Np Nq p q
3)
{ , };{{ ,
}} ;
Np Iq p q
¬
4)
{ , };{{ ,
}} ;
Ip Iq p q
¬ ¬
5)
{ , };{{ , },{ ,
}} ;
Np Cq p q p q
¬
6)
{ , };{{ , },{ ,
}} ;
Ip Cq p q p q
¬ ¬ ¬
7)
{ ,
};{{ , },{ , }} ;
Cp Nq p q p q
¬
8)
{ , };{{ ,
},{ ,
}} ;
Cp Iq p q p q
¬ ¬ ¬
9)
{ ,
, { }, {
}, {
}, {
}}
;
{{ , },{ ,
},{ , },{ ,
}}
Cp Cq C p q C p q C p q C p q
p q p q p q p q
∧
∧ ¬ ¬ ∧ ¬ ∧ ¬
¬ ¬ ¬ ¬
10)
{ ,
, { }, {
}, {
}, {
}}
;
{{ ,
},{ , },{ ,
}}
Cp Cq I p q C p q C p q C p q
p q p q p q
∧
∧ ¬ ¬ ∧ ¬ ∧ ¬
¬ ¬ ¬ ¬
11)
{ ,
, { }, {
}, {
}, {
}}
;
{{ , },{ , },{ ,
}}
Cp Cq C p q I p q C p q C p q
p q p q p q
∧
∧ ¬ ¬ ∧ ¬ ∧ ¬
¬ ¬ ¬
12)
{ ,
, { }, {
}, {
}, {
}}
;
{{ , },{ ,
},{ ,
}}
Cp Cq C p q C p q I p q C p q
p q p q p q
∧
∧ ¬ ¬ ∧ ¬ ∧ ¬
¬ ¬ ¬
13)
{ ,
, { }, {
}, {
}, {
}}
;
{{ , },{ ,
},{ , }}
Cp Cq C p q C p q C p q I p q
p q p q p q
∧
∧ ¬ ¬ ∧ ¬ ∧ ¬
¬ ¬
14)
{ ,
, { }, {
}, {
}, {
}}
;
{{ ,
},{ , }}
Cp Cq I p q C p q C p q I p q
p q p q
∧
∧ ¬ ¬ ∧ ¬ ∧ ¬
¬ ¬
15)
{ ,
, { }, {
}, {
}, {
}}
.
{{ , },{ ,
}}
Cp Cq C p q I p q I p q C p q
p q p q
∧
∧ ¬ ¬ ∧ ¬ ∧ ¬
¬ ¬
Нетрудно убедиться, что, согласно вышеприведенным условиям
истинности/ложности формул с модальными операторами, формула
(
)
◊¬ ⊃ � ⊃ ◊
p p q
истинна в каждом из данных ограниченных/допол-
нительно ограниченных множеств о.с.