6 / 10
Н.Л. Архиериев
6
Гуманитарный вестник
# 7·2016
(
)
.
W
B f
W B f
α
◊ = ⇔ ∀α α ∈ ⇒ =
(Операторы
, ◊
�
рассматриваются как кванторы по описаниям со-
стояний; «существенными» оказываются только модальности первой
степени — «собственные» для S5 модальности
, ◊, �¬, ◊¬
. Итериро-
ванные модальности рассматриваются как «фиктивные» кванторы —
кванторы по переменным, не имеющим вхождения в формулу.)
Формула
�
B
логически общезначима
, е.т.е.
В
общезначима в каж-
дом
2
U
W
∈
(
U
есть 2
n
— элементное множество о.с. для формулы).
Формула
�
B
логически выполнима
, е.т.е.
В
общезначима в неко-
тором
2
∈
U
W
.
Формула
Β
◊
логически общезначима
, е.т.е.
В
логически выпол-
нима.
III. В произвольном множестве о.с.
W
элементарная формула
принимает одно значение из множества {
N
,
C
,
I
} в зависимости от
того, входит ли она в каждое о.с. из этого кластера без отрицания, с
отрицанием или же по крайней мере однажды меняет значение в этом
множестве о.с.:
(
)
;
W
p N
W p t
α
= ⇔ ∀α α ∈ ⇒ =
(
)
;
W
p I
W p f
α
= ⇔ ∀α α ∈ ⇒ =
(
)
(
)
.
W
p C
W p t
W p f
α
α
= ⇔ ∃α α ∈ ∧ = ∧ ∃α α ∈ ∧ =
Метаистолкования {
N
,
C
,
I
} разбивают множество
2
U
на непере-
секающиеся классы эквивалентности.
Нетрудно заметить, что между понятиями из групп
ΙΙ
и
ΙΙΙ
имеет-
ся следующая связь:
;
;
�
= ⇔ = �
= ⇔ = ∨ =
W
W
W
W
W
p t
p N p f
p p C
;
.
W
W
W
W
W
p t
p N p C p f
p I
◊
= ⇔ = ∨ = ◊
= ⇔ =
С использованием этих соотношений покажем общезначимость
формулы
◊ ⊃ �◊
Α Α
в полученной семантике. Допустим,
◊ ⊃� ◊ =
W
Α Α f
в некотором
.
2
U
W
∈
Тогда
◊ =
W
Α t
и
�◊ =
W
Α f
, т. е.
◊ =
W
Α t
и
� ¬ =
W
Α Α t
. Следовательно,
◊ =
W
Α t
и
� ¬ =
W
Α t
(по-
скольку «существенными» в S5 являются только модальности первой
степени);
;
◊ = ⇔ = ∨ =
W
W
W
Α t
A N A C
,
� ¬ = ⇔ =
W
W
Α t
Α
сле-