Н.Л. Архиереев
8
Гуманитарный вестник
# 12·2017
следующий факт: любая эмпирическая модель теории структурно
соответствует некоторой ее численной модели. Под структурным со-
ответствием можно понимать отношения эквивалентности (изомор-
физма) или более слабые» отношения гомоморфизма и погружаемо-
сти между моделями.
Именно факт существования подобного структурного соответ-
ствия оправдывает применение чисел к вещам. Для корректного ис-
пользования математических моделей некоторых эмпирических фе-
номенов необходимо предварительно доказать, что структура неко-
торого множества феноменов с заданными на нем эмпирическими
операциями и отношениями идентична структуре некоторого множе-
ства чисел с заданными на нем арифметическими операциями и отно-
шениями. Понятия изоморфизма, гомоморфизма и т. д. есть конкрет-
ные экспликации качественного понятия идентичности [2, с. 266].
В общем случае под теоремой представления имеют в виду сле-
дующее утверждение.
Пусть
M
есть множество всех моделей некоторой теории,
А
—
некоторое выделенное (конечное) подмножество
М
. Доказательство
теоремы представления для
М
относительно
А
состоит в доказатель-
стве утверждения, что для произвольной модели данной теории из
М
существует изоморфная ей модель, принадлежащая
А
. Иными слова-
ми, любая возможная модель данной теории представлена некоторой
моделью из ограниченного (конечного) множества
А
(число возмож-
ных видов моделей теории конечно). Примером подобной теоремы
является теорема алгебры, доказывающая, что любая группа изо-
морфна группе перестановок. Если множество
А
оказывается одно-
элементным, это означает, что любые две модели теории изоморфны
друг другу. В данном случае теория называется категоричной. (При-
мером категоричной теории является элементарная теория чисел, ис-
пользующая стандартное определение множества.)
По мнению сторонников теоретико-множественной стратегии
аксиоматизации теории, одной из основных технических ошибок
стандартной трактовки теории было именно игнорирование наличия
целой иерархии моделей, расположенной между постулатами фунда-
ментальной теории и ее предметной областью,
в силу чего непосред-
ственное сопоставление теоретических и наблюдаемых терминов на
основе правил соответствия невозможно.
Доказательство теоремы представления для классов моделей раз-
личного уровня является необходимым условием теоретико-
множественной аксиоматизации некоторой теории. Данная аксиома-
тизация заключается (в самом общем виде) в построении некоторой
единой порождающей структуры (теоретико-множественного преди-
ката) с параметрами, посредством спецификации которых можно
описать все допустимые модели соответствующей теории.