Факторный анализ и категориальный метод главных компонент: сравнительный анализ и практическое применение для обработки результатов анкетирования

6 / 16

Е.Е. Фомина
6 Гуманитарный вестник # 10·2017
самостоятельная категория или как отдельное для каждого объекта
значение.
Обработка данных методом CatPCA включает в себя два этапа.
На первом этапе происходит процедура оцифровки переменных, ко-
торая опирается на принципы оптимального шкалирования; на вто-
ром этапе выполняется редукция размерности данных.
Математическая формализация метода имеет следующий вид.
Рассмотрим матрицу исходных переменных 1 2 ( , , ..., )
p X x x x= раз-
мерности , n p× где переменная n
j x R∈ и может принимать j L
различных значений. Для нее требуется определить матрицу инте-
гральных характеристик Z таким образом, чтобы функция σ( , )Z W
принимала минимальное значение [8]:
1
σ( , ) ( ) ( ) min
p
T
j j j j
j
Z W tr Z G W Z G W
=
= − − → ∑ (1)
при ограничениях
1 0 T
n r Z = ; (2)
, T
r Z Z nI= (3)
т. е. интегральные характеристики должны удовлетворять условиям
центрированности и ортонормированности.
Здесь Z — матрица интегральных характеристик размерности ; n r×
G j — матрица индикаторов размерности j n L× для исходной пере-
менной j x ;
1, если объект относится к категории ,
( , )
0 в противном случае;

= 

j
j j
i l
G i l
W j — матрица размерности j L p× переменной j x , содержащая коор-
динаты всех ее категорий в r-м пространстве; 1n — единичный вектор
размерности 1 n × ; 0r — единичный вектор размерности 1 r × ; Ir —
единичная матрица размером r r× .
Оптимизация функции (1) при ограничениях (2), (3) осуществля-
ется с помощью итерационного алгоритма Princals [8].
Оцифровка переменных в алгоритме CatPCA происходит таким об-
разом, что собственные значения компонент, рассчитанные по матрице
корреляций оптимизированных переменных, максимизируются.
Показателем, позволяющим оценить качество проведенного ана-
лиза, является альфа Кронбаха (α) — коэффициент, показывающий
внутреннюю согласованность характеристик, описывающих один
объект. Альфа Кронбаха лежит в интервале от −∞ до 1. Если α 0,7 ,