4 / 11
В.Ю. Ивлев
4
Гуманитарный вестник
# 1·2017
Для выражения логических свойств категорий возможности и
необходимости целесообразно использовать средства современной
логики.
Язык.
Символы
:
1)
x
1
,
x
2
,
x
3
, ... — индивидные переменные;
2)
а
1
,
а
2
,
а
3
, ... — индивидные константы;
3)
,
k
P
,
k
Q
1
,
k
P
1
,
k
Q
(
k
)
k
-местные предикатные символы;
4)
— знаки отрицания, конъюнкции, дизъюнкции и им-
пликации, соответственно читаются «неверно, что», «и», «или», «ес-
ли..., то...»;
— квантор общности (обычный);
— квантор суще-
ствования (обычный);
б
— квантор существования для большинства;
м
— квантор существования для меньшинства;
п
— квантор суще-
ствования для половины.
Определение терма:
1) индивидная переменная есть терм;
2) индивидная константа есть терм;
3) ничто иное термом не является.
Определение формулы:
1) если
А
k
—
k
-местный предикатный символ, а
t
1
, ...,
t
n
— термы,
то
А
k
(
t
1
, ...,
t
n
) — формула;
2) если
А
и
В
— формулы, а
x
— индивидная переменная, то
x
x
б
x
м
x
п
x
— форму-
лы;
3) ничто иное формулой не является.
Семантика
.
Семантика включает в себя функцию
d
, где
d
—
непустая конечная предметная область (область интерпретации).
Функция
d
(индекс
d
в некоторых случаях будем опускать) следую-
щим образом приписывает значения индивидным константам и пре-
дикатным символам:
1)
если
— индивидная константа, то
d
;
2)
если
А
k
—
k
-местный предикатный символ, то
k
d
k
, где
d
k
— декартова
k
-степень множества
d
, т. е. функция
приписывает
каждому
k
-местному символу множество
k
-ых предметов, находя-
щихся в отношении
А
k
.
Семантика включает в себя также множество функций
S
1
,
S
2
, ...
распределения значений по свободным переменным формулы из той
же области
d
. Если
— свободная переменная, то
S
i
d
.
Введем функцию
d
, которая приписывает значения индивид-
ным константам, предикатным символам, а также сложным выраже-
ниям (индекс
d
иногда будем опускать):