Основные квазиматричные логики

8 / 11

Ю.В. Ивлев
8 Гуманитарный вестник # 10·2016
В силу индукционного допущения в первом случае
B1, …, Bn ⇒ □L и B1 , …, Bn ⇒ M&◊¬M. M ⊃ (L ⊃ M) — теоре-
ма. Используя схему аксиом □ ( A ⊃ B) ⊃ (□A ⊃ □B), получаем
(□L&◊¬M) ⊃ ◊¬( L ⊃ M).
Во втором случае в силу индукционного допущения верно B1, …,
Bn ⇒ ¬L&◊L и B1, … , Bn ⇒ ¬◊M. ¬L ⊃ (L ⊃ M) — теорема. Ис-
пользуя схему аксиом □ (A ⊃ B) ⊃ (◊ A ⊃ ◊B), получаем
(◊ L&◊¬ M) ⊃ ◊¬(L ⊃ M).
Доказано.
При третьей возможности рассуждаем с разбором случаев.
Пусть F имеет значение fc в каждой альтернативной интерпрета-
ции, образованной на основе данной интерпретации переменных. Это
возможно в трех основных случаях, а также в их сочетаниях:
1) в каждой альтернативной интерпретации L имеет значение tn,
а M — fc;
2) в каждой альтернативной интерпретации L имеет значение tc,
а M — fc;
3) в каждой альтернативной интерпретации L имеет значение tc,
а M — fi.
Требуется доказать, что
B1, …, Bn ⇒ ¬(L⊃M) &◊(L ⊃M).
В первом случае в силу индукционного допущения имеет место:
B1, …, Bn ⇒ □L и B1 , …, Bn ⇒ ¬ M&◊M. Далее □L ⇒ L;
L&¬M ⇒ ¬( L⊃M). Используя схему аксиом ◊B ⊃ ◊(A ⊃ B), получа-
ем требуемое доказательство.
Во втором случае в силу индукционного допущения будет верно:
B1 , …, Bn ⇒ L&◊¬L и B1 , …, Bn ⇒ ¬M&◊M.
Доказано, как и в предшествующем случае.
В третьем случае в силу индукционного допущения имеет место:
B1 , …, Bn ⇒ L&◊¬L и B1 , …, Bn ⇒ ¬◊M. Доказано с использованием
схемы аксиом ◊¬ A ⊃ ◊(A ⊃ B ).
Доказательство альтернативных случаев опускается.
Пусть формула F в одних альтернативных интерпретациях, обра-
зованных на основе данной интерпретации переменных, имеет значе-
ние tn, а в других — tc. Это возможно в трех основных случаях и их
сочетаниях.
В первом случае как L, так и M имеют значение t c в каждой аль-
тернативной интерпретации. В силу индукционного допущения
B1 , …, Bn ⇒ L&◊¬L и B1 , …, Bn ⇒ M&◊¬M.
Требуется доказать:
B1, …, Bn ⇒ ((L ⊃ M)&◊¬(L ⊃ M)) ∨□(L ⊃ M), т. е. что
B1 , …, Bn ⇒ L ⊃ M.