Ю.В. Ивлев
8
Гуманитарный вестник
# 10·2016
В силу индукционного допущения в первом случае
B
1
, …,
B
n
⇒
□
L
и
B
1
, …,
B
n
⇒
M
&◊¬
M
.
M
⊃
(
L
⊃
M
) —
теоре-
ма. Используя схему аксиом □ (
A
⊃
B
)
⊃
(□
A
⊃
□
B
), получаем
(□
L
&◊¬
M
)
⊃
◊¬
(
L
⊃
M
).
Во втором случае в силу индукционного допущения верно
B
1
, …,
B
n
⇒ ¬
L
&◊
L
и
B
1
, … ,
B
n
⇒ ¬◊
M
.
¬
L
⊃
(
L
⊃
M)
—
теорема. Ис-
пользуя схему аксиом □ (
A
⊃
B
)
⊃
(
◊
A
⊃ ◊
B
), получаем
(
◊
L
&◊¬
M)
⊃ ◊¬
(
L
⊃
M
).
Доказано.
При третьей возможности рассуждаем с разбором случаев.
Пусть
F
имеет значение
f
c
в каждой альтернативной интерпрета-
ции, образованной на основе данной интерпретации переменных. Это
возможно в трех основных случаях, а также в их сочетаниях:
1) в каждой альтернативной интерпретации
L
имеет значение
t
n
,
а
M
—
f
c
;
2) в каждой альтернативной интерпретации
L
имеет значение
t
c
,
а
M
—
f
c
;
3) в каждой альтернативной интерпретации
L
имеет значение
t
c
,
а
M
—
f
i
.
Требуется доказать, что
B
1
, …,
B
n
⇒ ¬
(
L
⊃
M
)
&◊
(
L
⊃
M
).
В первом случае в силу индукционного допущения имеет место:
B
1
, …,
B
n
⇒
□
L
и
B
1
, …,
B
n
⇒
¬
M
&◊
M
. Далее □
L
⇒
L
;
L
&¬
M
⇒ ¬
(
L
⊃
M
). Используя схему аксиом
◊
B
⊃
◊
(
A
⊃
B
), получа-
ем требуемое доказательство.
Во втором случае в силу индукционного допущения будет верно:
B
1
, …,
B
n
⇒
L
&◊¬
L
и
B
1
, …,
B
n
⇒ ¬
M
&◊
M
.
Доказано, как и в предшествующем случае.
В третьем случае в силу индукционного допущения имеет место:
B
1
, …,
B
n
⇒
L
&◊¬
L
и
B
1
, …,
B
n
⇒ ¬◊
M
. Доказано с использованием
схемы аксиом
◊¬
A
⊃ ◊
(
A
⊃
B
).
Доказательство альтернативных случаев опускается.
Пусть формула
F
в одних альтернативных интерпретациях, обра-
зованных на основе данной интерпретации переменных, имеет значе-
ние
t
n
, а в других —
t
c
. Это возможно в трех основных случаях и их
сочетаниях.
В первом случае как
L
, так и
M
имеют значение
t
c
в каждой аль-
тернативной интерпретации. В силу индукционного допущения
B
1
, …,
B
n
⇒
L
&◊¬
L
и
B
1
, …,
B
n
⇒
M
&◊¬
M
.
Требуется доказать:
B
1
, …,
B
n
⇒
((
L
⊃
M
)
&◊¬
(
L
⊃
M
))
∨
□(
L
⊃
M
), т. е. что
B
1
, …,
B
n
⇒
L
⊃
M
.