Previous Page  5 / 11 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 5 / 11 Next Page
Page Background

Основные квазиматричные логики

Гуманитарный вестник

# 10·2016 5

торых —

f

i

; в некоторых —

t

c

, а в некоторых —

f

i

;

в

некоторых —

t

n

,

в некоторых —

t

c

, а в некоторых —

f

i

и т. д. Тогда

B

1

, …,

B

n

F

.

Лемма доказывается возвратной индукцией по числу вхождений

логических терминов в формулу

F.

Базис.

Формула

F

не содержит логических терминов. Очевидное

доказательство опускается.

Индукционное допущение

. Утверждение верно для формул, име-

ющих не более

s

вхождений логических терминов.

Индукционный шаг. Случай 1.

Пусть

s+1

-м вхождением логиче-

ских терминов в формулу

F

является вхождение знака отрицания.

Формула

F

есть

¬

L

.

Пусть

F

имеет значение

t

n

в каждой альтернативной интерпрета-

ции, образованной на основе данной интерпретации переменных. То-

гда

L

имеет значение

f

i

в каждой альтернативной интерпретации, об-

разованной на основе данной интерпретации переменных. В силу

индукционного допущения

B

1

, …,

B

n

⇒ ¬◊

L

;

¬◊

L

¬

L

теоре-

ма. (Используем схему аксиом

¬

¬

A

⊃ ◊

A

.) Тогда

B

1

, …,

B

n

¬

L

.

Пусть

F

имеет значение

f

i

в каждой альтернативной интерпрета-

ции, образованной на основе данной интерпретации. Тогда

L

имеет

значение

t

n

в каждой альтернативной интерпретации. В силу индук-

ционного допущения

B

1

, …,

B

n

□L

. Тогда

B

1

, …,

B

n

⇒ ¬◊¬

L

. Ис-

пользуем схему аксиом

A

⊃¬

¬

A

и

правило замены

¬¬

A

на

A

, и

наоборот.

Пусть

F

имеет значение

t

c

в каждой альтернативной интерпрета-

ции, образованной на основе данной интерпретации. Тогда

L

имеет

значение

f

c

в каждой альтернативной интерпретации. В силу индук-

ционного допущения

B

1

, …,

B

n

⇒ ¬

L

&◊

L

.

Отсюда

B

1

, …,

B

n

⇒ ¬

L

&◊¬¬

L

.

Пусть

F

имеет значение

f

c

в каждой альтернативной интерпрета-

ции, образованной на основе данной интерпретации. Тогда

L

имеет

значение

t

c

в каждой альтернативной интерпретации. В силу индук-

ционного допущения

B

1

, …,

B

n

L

&

◊¬

L

.

Отсюда

B

1

, …,

B

n

⇒ ¬¬

L

&

◊¬

L

.

Пусть

F

имеет значение

t

n

в некоторых альтернативных интер-

претациях, образованных на основе данной интерпретации,

а в неко-

торых — значение

t

c

. Тогда

L

в некоторых альтернативных интер-

претациях имеет значение

f

i

, а в некоторых —

f

c

. В силу индукцион-

ного допущения

B

1

, …,

B

n

⇒ ¬◊

L

∨¬

L

&

L

.

Поскольку

¬◊

L

¬

L

и

¬

L

&◊

L

⇒ ¬

L

&◊¬¬

L

,

имеем

B

1

, …,

B

n

¬

L

(

¬

L

&◊¬¬

L

).

Пусть

F

имеет значение

t

n

в некоторых альтернативных интер-

претациях, образованных на основе данной интерпретации, а в неко-