Основные квазиматричные логики

6 / 11

Ю.В. Ивлев
6 Гуманитарный вестник # 10·2016
торых — значение f i. Тогда L в некоторых альтернативных интерпре-
тациях имеет значение f i , а в некоторых — t n. В силу индукционного
допущения B1, …, Bn ⇒ ¬◊L∨□L. Тогда B1, …, Bn ⇒ □¬L∨¬◊¬L.
Пусть F имеет значение tc в некоторых альтернативных интер-
претациях, образованных на основе данной интерпретации, а в неко-
торых — значение f c. Тогда L в некоторых альтернативных интер-
претациях имеет значение fc, а в некоторых — tc. В силу индукцион-
ного допущения B1, …, Bn ⇒ (¬L&◊L )∨( L&◊¬L).
Тогда B1, …, Bn ⇒ (¬ L&◊¬¬L)∨(¬¬L&◊¬L).
Доказательство остальных подслучаев этого случая опускается.
Случай 2. Пусть s+1-м вхождением логических терминов в формулу
F является вхождение знака необходимости. Формула F есть L.
Пусть F имеет значение t n в каждой альтернативной интерпрета-
ции, образованной на основе данной интерпретации переменных. То-
гда L имеет то же значение в каждой альтернативной интерпрета-
ции, образованной на основе данной интерпретации переменных.
В силу индукционного допущения B1 , …, Bn ⇒□L. □L ⊃ □□L — тео-
рема. (Используем схему аксиом □A ⊃ □□ A.)
Тогда B1, …, Bn ⇒ □□L.
Пусть F имеет значение f i в каждой альтернативной интерпрета-
ции, образованной на основе данной интерпретации. Тогда L имеет
то же значение в каждой альтернативной интерпретации. В силу ин-
дукционного допущения B1, …, Bn ⇒ ¬◊L. Тогда B1, …, Bn ⇒ ¬◊□L.
Используем схему аксиом ◊ □A ⊃ ◊ A .
Пусть в некоторых альтернативных интерпретациях F имеет зна-
чение fc, в некоторых — f i. Тогда следует рассмотреть три возмож-
ности. Первая: L имеет значение tc в каждой альтернативной интер-
претации. Вторая: L имеет значение fc в каждой альтернативной ин-
терпретации. Третья: в некоторых альтернативных интерпретациях L
имеет значение tc , а в некоторых — fc. Требуется доказать:
B1, …, Bn ⇒ (¬□L&◊□L)∨¬◊ □L, т. е. что B1, …, Bn ⇒ ¬□L∨¬◊□L.
При первой возможности сила индукционного допущения
B1, …, Bn ⇒ L&◊¬L. ◊¬L ⊃¬□L — теорема. Доказано.
При второй возможности B1 , …, Bn ⇒ ¬L &◊L. Доказано. (Ис-
пользуем аксиому □A ⊃ A .)
При третьей возможности B1 , …, Bn ⇒ (L&◊¬L)∨(¬L&◊ L). До-
казывается разбором случаев.
Случай 3. Пусть s+1-м вхождением логических терминов в фор-
мулу F является вхождение знака возможности. Формула F есть ◊L.
Пусть F имеет значение t n в каждой альтернативной интерпрета-
ции, образованной на основе данной интерпретации переменных. То-
гда L имеет значение t n в каждой альтернативной интерпретации.