Основные квазиматричные логики

7 / 11

Основные квазиматричные логики
Гуманитарный вестник # 10·2016 7
Требуется доказать: B1, …, B n ⇒ □◊L . В силу индукционного допу-
щения B1, …, Bn ⇒ □L . □A ⊃ □◊A — аксиома. Доказано.
Пусть F имеет значение f i в каждой альтернативной интерпрета-
ции, образованной на основе данной интерпретации переменных.
Тогда L имеет значение f i в каждой альтернативной интерпретации.
Требуется доказать: B1, …, B n ⇒ ¬◊◊L. В силу индукционного до-
пущения B1, …, Bn ⇒ ¬◊L. ◊◊A ⊃ ◊A — аксиома. Доказано.
Пусть в одних альтернативных интерпретациях, образованных на
основе данной интерпретации переменных, F имеет значение tc, в
других — tn. Тогда следует рассмотреть три возможности. Первая:
L имеет значение tn в каждой альтернативной интерпретации. Вто-
рая: L имеет значение f n в каждой альтернативной интерпретации.
Третья: в одних альтернативных интерпретациях L имеет значение tc,
а в других — fc. Требуется доказать: B1 , …, B n ⇒ (◊ L&◊¬ L)∨□◊ L,
т. е., что B1, …, Bn ⇒ ◊L . Несложное доказательство опускается.
Случай 4 . s+1-м вхождением логических терминов в формулу F
является вхождение знака импликации. Формула F есть L ⊃ M.
Пусть формула F имеет значение t n в каждой альтернативной
интерпретации, образованной на основе данной интерпретации пере-
менных. Это возможно, если в каждой альтернативной интерпрета-
ции L имеет значение fi или в каждой альтернативной интерпретации
M имеет значение tn, или в некоторых альтернативных интерпрета-
циях L имеет значение fi, а в некоторых M — t n. Требуется доказать,
что B1, …, Bn ⇒ □ (L ⊃ M).
В первом случае используем схему аксиом ¬◊ A ⊃ □ (A ⊃ B ).
Во втором — □A ⊃ □ (A ⊃ B).
В третьем случае, в силу индукционного допущения,
B1, …, Bn ⇒ ¬◊L∨□M. Рассуждая с разбором случаев, получаем
B1, …, Bn ⇒ □ (L ⊃ M).
Доказано.
Пусть формула F имеет значение f i в каждой альтернативной ин-
терпретации, образованной на основе данной интерпретации пере-
менных. Это возможно, если в каждой альтернативной интерпрета-
ции L имеет значение tn, а M — f i. В силу индукционного допуще-
ния B1, …, Bn ⇒ □L и B1, …, Bn ⇒ ¬◊M. Используя аксиому
◊ (A ⊃ B) ⊃ (□A ⊃ ◊ B), получаем B1, …, Bn ⇒ ¬◊(L ⊃ M).
Пусть формула F имеет значение tc в каждой альтернативной ин-
терпретации, образованной на основе данной интерпретации пере-
менных. Это возможно в трех случаях. Первый — в каждой альтер-
нативой интерпретации L имеет значение tn, а M — tc. Второй — в
каждой альтернативной интерпретации L имеет значение fc, а M — f i.
Третий — в одних альтернативных интерпретациях L имеет значение
tn, а M — tc, в других L имеет значение fc, а M — f i. Требуется дока-
зать, что B1 , …, Bn ⇒ (L ⊃ M) &◊¬(L ⊃ M).