Т.И. Кузнецова, О.Н. Белоусова
4
Элементы
b
ij
обратной матрицы
В =
(
Е – А
)
–1
характеризуют за-
траты отрасли
i
на каждый рубль конечной продукции отрасли
j
и
называются коэффициентами полных (материальных) затрат.
Матрица
В
— это матрица коэффициентов полных затрат, а мат-
рица
А
— это матрица коэффициентов прямых затрат.
Неотрицательную матрицу
А
(
А
≥ 0) называют продуктивной, ес-
ли существует хотя бы один такой положительный вектор
X
> 0, для
которого выполняется неравенство
(
Е
–
А
)
X
> 0.
Из этого определения следует, что матрица
А
продуктивна, если
существует такой план
X
> 0, что каждый объект (отрасль, предприя-
тие, цех) может произвести некоторое количество конечной продукции.
Продуктивность матрицы
А
≥ 0 является необходимым и доста-
точным условием существования, единственности и неотрицательно-
сти решения системы уравнений
Y =
(
Е – А
)
X
при любом неотрица-
тельном векторе
Y
≥ 0.
Для продуктивности матрицы
А
необходимо и достаточно, чтобы
выполнялось одно из следующих условий:
1) существует обратная матрица (
Е – А
)
–1
, и все ее элементы не-
отрицательны;
2) положительны все главные миноры матрицы (
Е – А
);
3) матричный ряд
Е + А + А
2
+ ... = ∑A
k
сходится, причем
∑А
k
=
=
(
Е – А
)
–1
;
4) максимальный из корней характеристического уравнения
|A –
λ
Е|
= 0 меньше 1.
Представленная экономико-математическая модель может быть
использована для укрупненного анализа национальной экономики.
Параметры модели могут стать, по мнению ряда авторов, основой
принятия управленческого решения при выборе плановой стратегии
развития с целью максимального приближения к предпочтительной
траектории изменения созданного конечного продукта [1, 5, 6].
Сбалансированность производства продукции и потребления
производственных ресурсов в форме составления матричного балан-
са — одно из основных условий эффективного развития различных
субъектов микроэкономики. Вместе с тем обеспечение равновесного
состояния микроэкономических систем является сложной и часто не-
выполнимой задачей. Считаем, что здесь целесообразно использовать
экономико-математические методы, позволяющие создавать различ-
ные модели развития экономических систем в микроэкономике. Та-
кие модели были апробированы в ряде интегрированных бизнес-
групп, но не применяются на машиностроительных предприятиях,
хотя являются важным инструментом повышения эффективности их
функционирования.
